Il paradosso della scelta: una storia di isole e vegetali

Come molti dei lettori più fedeli già sapranno, abbiamo già parlato molto spesso dei sistemi di voto e di come siano incredibilmente importanti per il concetto di “volontà popolare”. Abbiamo già visto come non esiste sistema di voto “che preservi le scelte sociali” e che, di conseguenza, la democrazia è un concetto fumoso che cambia significato a seconda del punto di vista da cui la si guarda.

Ne abbiamo già parlato in modo sparso. In questo articolo ricapitoleremo la situazione e vi mostrerò un esempio che chiarirà una volta per tutte la questione. Così da poter andare oltre.

Il problema con i sistemi di voto

Dicendola in modo semplice, un sistema di voto è una procedura con la quale si sintetizzano le preferenze individuali esprimendo un vincitore (o più di uno). Possiamo immaginare che ogni cittadino abbia “internamente” una classifica in cui ordina per preferenza una serie di candidati, dal più sgradito al preferito. Assumiamo che questa classifica sia palese (dopotutto, durante le elezioni, non facciamo altro che chiedere agli elettori questa classifica). Dati due candidati a caso, quindi, possiamo sapere con certezza chi ogni elettore preferisce fra i due. Il problema però è che, nonostante abbiamo una conoscenza totale, non esiste un modo per dichiarare un vincitore univoco. O meglio, il vincitore dipenderà dal sistema di voto che utilizziamo.

Per chiarire il concetto, rielaborerò un fantastico esempio tratto dal blog della American Mathematical Society. Immaginiamo un’isola con 55 abitanti in cui bisogna decidere quali fra 5 vegetali (Pomodoro, Kiwi, Carota, Melanzana e Limone) verrà scelto come piatto nazionale. Questa è una scelta importante perché il vegetale nazionale verrà mangiato e celebrato in continuazione. Il capo villaggio non vuole prendere questa decisione da solo, ma vuole chiedere agli abitanti così da avere una scelta il più possibile condivisa. Si deciderà tutto con una bella elezione.

Per ogni elettore conosciamo esattamente la classifica delle preferenze. Ad esempio, quella data dalla seguente immagine:

Come possiamo vedere, 18 elettori amano il pomodoro, seguito da melanzana, limone, carota e kiwi. In 12 hanno deciso che il kiwi regna supremo, seguito da limone, melanzana, carota e pomodoro. E così via… avete capito l’idea.

A questo punto, dobbiamo applicare il nostro sistema di voto. Guardando questa tabella dobbiamo infatti individuare “il migliore”. E qui nascono i problemi. Cominciamo dal più semplice.

• Voto Maggioritario. Secondo questo sistema vince chi ha preso il maggior numero di “primi posti”. Il resto non conta. Equivale quindi ad indicare con una croce il candidato preferito fra tutti. Secondo questo sistema Pomodoro prende 18 voti, Kiwi 12, Carota 10, Melanzana 9 e Limone 6. Pomodoro è quindi il vincitore.

Tutti mangeranno pomodoro in continuazione! Purtroppo però questa decisione genera mal contento fra la popolazione. Il capo dell’isola è confuso. Ma la cosa si spiega facilmente! Infatti, se guardiamo la tabella delle preferenze è vero che il pomodoro è amato dalla maggioranza della popolazione, ma è anche posizionato in ultima posizione da ben 37 abitanti! Numero che è ben oltre la maggioranza. Il capo villaggio decide quindi di adottare un sistema più sofisticato.

• Due Turni (Ballottaggio). Come ben sapete, il sistema prevede un ulteriore votazione fra i due candidati con il maggior numero di voti (primi posti). In questo caso Pomodoro e Kiwi. Per capire chi vince il ballottaggio, dobbiamo guardare a coloro che non hanno votato Pomodoro e Kiwi e vedere quanti di loro preferiscono il Pomodoro al Kiwi o viceversa, e sommarli ai voti originali. Nell’esempio, tutti quelli che non hanno votato per Pomodoro o Kiwi, preferiscono di gran lunga il Kiwi. Quindi, al ballottaggio il Pomodoro resta fermo a 18 mentre il Kiwi arriva a 37. Il Kiwi è quindi il vincitore.

Purtroppo il mal contento nella popolazione rimane. Infatti, il Kiwi è sicuramente una scelta più popolare, ma i 18 votanti del Pomodoro detestano il Kiwi, e anche fra altri abitanti, è vero che preferiscono Kiwi al Pomodoro… ma il Kiwi gli fa piuttosto schifo comunque (il Kiwi è posizionato quarto, non proprio un grande apprezzamento). Il capo villaggio decide quindi di adottare un altro sistema di voto.

• Runoff Sequenziale. Questo sistema è come il classico ballottaggio. Ma invece di essere un ballottaggio fra i primi due candidati, esegue prima un ballottaggio fra i primi 4, poi fra i primi 3, e infine fra i primi due. In pratica, ogni volta si elimina il candidato meno votato, e così via, ogni volta spostando i voti dell’eliminato al candidato con la preferenza più alta fra i rimasti.
  Al primo turno il Limone viene eliminato in quanto ha collezionato solo 6 voti. I voti andati al Limone vengono quindi trasferiti: 4 a Kiwi e 2 alla Carota. A questo punto è la Melanzana ad avere meno voti di tutti (9), e viene eliminata. Continuiamo questo processo fino a quando non rimane un solo candidato. Questa volta a vincere è la Carota.

La Carota è nettamente un candidato superiore in quanto massimizza la preferenza della popolazione. Ma questo non placa le contestazioni. Un gruppo di abitanti che preferisce la Melanzana alla Carota va dal capo villaggio lamentandosi che la decisione di usare il Runoff Sequenziale è una scelta arbitraria! dopotutto la maggioranza dei cittadini preferisce la Melanzana alla Carota! Propongono quindi un nuovo sistema di voto!

• Metodo Borda. Questo sistema è ricorda il sistema con cui si stila una classifica nelle competizioni automobilistiche. In pratica ogni posizione in classifica è associata con un punteggio. Per esempio il Pomodoro riceve 4 punti per ogni voto che lo indica come primo, 3 per ogni elettore che lo indica come secondo, e così via. Alla fine, si sommano i punti e il candidato con il miglior punteggio vince. Questa volta vi risparmio i conti. A scrutinio ultimato la Melanzana prende 136 punti, più di ogni altro vegetale. La Melanzana è quindi la vincitrice.

Ma a questo punto un altro gruppo di cittadini va dal capo villaggio a lamentarsi. Infatti 28 abitanti preferiscono il Limone alla Melanzana (preferita solo da 27 abitanti). Essi sono contrariati dalla scelta del capo villaggio del metodo usato. Il capo villaggio decide quindi di scegliere il vincitore così che non sia più possibile che un gruppo di persone che preferisce X al vincitore sia la maggioranza.

• Metodo Condorcet. Prendiamo un qualunque sistema che soddisfi il criterio di Condorcet. Questo significa che il vincitore deve poter vincere tutti i possibili ballottaggi a due contro ogni altro possibile candidato. Proprio come vuole il capo villaggio! Nel nostro caso, il Limone è il vincitore di Condorcet.

Ma questa è solo una decisione temporanea, infatti l’esistenza di un vincitore non è affatto garantita. È infatti possibile, anzi comune, che un insieme di preferenze collettive non ne contenga alcuno. Ovvero, che esse siano cicliche (la maggioranza preferisce A a B, B a C, e C a A).

Il problema del capo villaggio è che non esiste soluzione a questo problema. Partendo da classifiche chiare e oneste, abbiamo usato 5 sistemi di voto diversi e ottenuto 5 diversi vincitori. Tutti, in qualche modo, espressione della “volontà popolare”.

La cosa, se ci pensate, è paradossale. Sappiamo letteralmente tutto su quale candidato ogni elettore ama o odia. Eppure, è impossibile trovare un vincitore univoco. Cosa significa “espressione della volontà popolare” in questa situazione? Niente.

Quello che ha significato, invece, è quale proprietà si vuole “massimizzare” (Ottimo paretiano, transitività, manipolabilità, assenza o presenza del voto strategico, e molte altre con cui non vi annoierò oggi). Un singolo sistema di voto non può massimizzarle tutte, ma può andarci vicino. Ed è quello di cui parleremo la prossima volta.